Apunteak

05 Gaia: Gas ideala

---

5. Gaia: 5Z

5.1 Espantsio askea (Zabaltze askea)

• masa konstanteko sistema hidrostatikoa: adiabatikoki isolatukoa da eta mekanikoki isolatukoa da, ez dauka, beraz, ingurunerik…unibertsoa da, erabat isolatuta baitago

• efektiboki ez dauka inolako askatasun-gradurik…denak ditu izoztuta

• horrela dagoela, hutsaren kontra zabaltzen utziko diogu

  Lehen Printzipioa aplikatuz, honako hau lortuko dugu:

  $$Q(=0)=\mathrm{\Delta }U-W(=0)\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }U=0}}$$

• Kontuz, horrek ez du esan nahi: $\delta U=0$ denik

  Azken horren kasuan, prozesua kuasiestatiko da, eta $U$ konstante mantentzen da

  Espantsio askean, $U_i=U_f$, tartean ezin dugu jakin zer egin duen

  Sistema ez da oreka (termodinamikoko) egoeretatik pasatzen, eta, beraz, ez dakigu ezer sistemaren egoerari buruz: barne-energiak gora zein behera egin dezake, hasierako balioarekin alderatuta, eta, egiatan horixe da egingo duena

Iruzkina:

• Gas idealari dagokion egoera-ekuazio mekanikoa ondorioztatzeko, Virial-aren garapena erabili behar da.

5.2 Gas ideala kontzeptua

• Kontzeptua definitu behar da, beraz, gure esku dago definizioa, eta sistema berezi horrek izango dituen ezaugarriak zein diren esatea.

• Kontuz ibili behar da;

  • eredu bat lortuko delako, eredu ideala, eta definizioa egin den hipotesietan oinarritutako da eredua: $dU=0$
    prozesuarekin lotutako hipotesia

  • kontzeptua definitzeko zenbait hipotesi onartu da: $dT=0$
    sistemarekin lotutako hipotesia

Gas idealak honako baldintza hau beteko du, zabaltze askean zabaltzean: bere tenperatura ez da aldatuko ($dT=0$), eta, gainera, zabaltze askean $dU=0$ beteko da

• Aldagai independenteen bi sorta ezberdin erabilita deskribatuko dugu prozesua:

  1. Sistema deskribatzeko $T,V$ aldagai independenteen sorta aukeratuta:

     Idatz dezadan $dU$ diferentzialari dagokion adierazpena, honako hau:

  $$dU={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}dT+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}dV$$

  Adierazpena erraztuko dut kontuan hartuz onartutako bi hipotesiak:

  $dU=0$ eta $dT=0$, honako hau da ondorioa:

  $$\boxed{{\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=0}}$$

  2. Sistema deskribatzeko $T,p$ aldagai independenteen sorta aukeratuta:

     Idatz dezadan $dU$ diferentzialari dagokion adierazpena, honako hau:

  $$dU={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{p}dT+{\left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)}_{T}dp$$

  Adierazpena erraztuko dut kontuan hartuz onartutako bi hipotesiak:

  $dU=0$ eta $dT=0$, honako hau da ondorioa:

  $$\boxed{{\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)}_T=0}}$$

  Lortutako bi ondorioen ondorioa da barne-energiak tenperaturarekiko mendekotasuna baino ez duela:

  $$\boxed{{\displaystyle U=U(T)}}$$

Iruzkinak:

• $$\boxed{{\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)}_T=0}}\Rightarrow {\left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)}_T={\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T(\ne 0)\Rightarrow \boxed{{\displaystyle {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=0}}$$

• Gas idealaren barne-energiaren adierazpena:

  • edozein sistema hidrostatikoren kasuan, honako hau betetzen da: ${\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=C_V$

  • gas idealaren egoera-ekuazio termikoa da: $U=U(T)$

  • biak kontuan hartuz: $\boxed{{\displaystyle \left(\frac{dU}{dT}\right)=C_V}}$

  • $dU=C_{V}dT\Rightarrow \int dU\equiv U=\int C_{V}dT$

• Gas idealaren $C_V=k$

  • aurrekoarekin bat eginez: $\mathrm{\Delta }U=C_V\mathrm{\Delta }T\iff U=C_{V}T+k$

  • azken adierazpenenaren kasuan, sistemari dagokion egoera bat ezagutu behar da integrazio-konstantearen balioa ezagutzeko

  • edozein prozesu eragin dela, hasierako eta bukaerako egoeren $T$ tenperaturaren balioak ezagututa, $\mathrm{\Delta }U$ barne-energiaren aldaketa ezaguna da

• Lehenengo Printzipioaren adierazpen diferentziala (1)
  prozesu kuasiestatiko (esan gabe doa, baina itzulgarria ere bada) (2)
  masa konstanteko gas idealean (3):

  • lehen printzipioa: $\delta Q=dU-\delta W$

  • gas ideala sistema hidrostatikoa da: $\delta W=-pdV$

  • gainera, gas idealaren egoera-ekuazio termikoa erabilita: $dU=C_{V}dT$

  Orduan, (1) + (2) + (3), baina $(T,V)$ aldagai independentetzat hartuta

  $$\delta Q=C_{V}dT+pdV$$

  Orduan, (1) + (2) + (3), baina $(T,p)$ aldagai independentetzat hartuta, lortzeko:

  $$\delta Q=C_{p}dT-Vdp$$

• Zenbait modu dago azken adierazpen hori lortzeko:

  1. orokorrak diren lehen printzipioaren adierazpenetan sistema jakinari buruzko informazioa ordezkatuz

  2. $dV=dV(T,p)$ garatuz, eta koefiziente esperimentalak ($\alpha ={\displaystyle \frac{1}{T}},{\kappa }_T={\displaystyle \frac{1}{p}}$) ordezkatuz

5.3 Prozesu adiabatiko kuasiestatikoen adierazpena

Oraingo honetan, prozesu jakin bati dagokion adierazpen matematikoa lortuko dut. Aldez aurretik finkatutako aldagai termodinamikoen funtzioan idatziko dut adierazpen matematikoa. Aztertuko dudan adibidean, bi izango dira aldagai termodinamiko independente, nahiz eta ez den orokortasunik galduko. Jakina, aztertuko dudan sistema gas ideala da, baina ez da orokortasunik galduko prozesuei dagokien adierazpenen ondorioztapena egiteko bete beharreko urratsei dagokionez; beraz, segidan egingo dudan honek guztiak balioko du edozein sistemaren kasuan, edozein prozesuren kasuan horri dagokion adierazpen matematikoa lortzeko.

Prozesu bati dagokion adierazpen matematikoa lortzea aldagai termodinamiko independente jakinen funtzioan da aldagai horiek (segidako kasuan bi) definitzen duten konfigurazio-espazioan (segidako kasuan planoa) aldagaien arteko lotura lortzea: hots, prozesua betetzen duten puntuen segida aurkitzea plano horretan, funtzio matematiko moduan. Beraz, aurkitu beharreko puntuek, planoan daudenez, sistemaren egoera-ekuazioak bete beharko dituzte, baina prozesuko puntuak izango direnez, prozesuari dagokion baldintza bete beharko dute baita ere.

Ondorioztapena aurrera eramateko orain arte dugun tresna bakarra da lehen printzipioaren adierazpen infinitesimala. Dena dela, kontuan izan berori ez dela ekuazio infinitesimala, baizik eta diferentzialen arteko erlazioa: printzipioz, besterik gabe, ezinezkoa da berori integratzea. Hala ere, prozesu bati dagokion adierazpena aurkitu nahi denez, prozesua definituta dago: ibilbidea definituko duen baldintzaren bat ezagutuko da. Horrek esan nahi du fisikoki prozesu kuasiestatikoaz ari garela, eta, beraz, diferentzialen arteko erlazio hura integratu ahal izango dela

Ondoko zerrendako puntuak dira betebeharrekoak, ondorioztapena egiteko:

1. finkatu erabiliko diren aldagai termodinamiko independenteak

2. idatzi lehen printzipioaren adierazpen infinitesimala

3. ordezkatu lehen printzipioaren adierazpen diferentzialean:

   • prozesuari dagokion informazioa

   • sistemari dagokion informazioa

4. integratu lortutako ekuazio infinitesimala

---

1. Finkatu erabiliko diren aldagai termodinamiko independenteak:

   Betiko moduan, edozein izan daitezke. Dena dela, lehendabizi $T$ eta $V$ finkatuko ditut. Esan bezala, horrek esan nahi du lortuko dudala gas idealaren kasuan prozesu adiabatikoek $p/V$ diagraman duten adierazpen matematikoa. Hots, honako funtzio matematikoa: $p=p(V)$, edo $V=V(p)$, ($V/p)$ diagrama, jakina.

   
   

   Iruzkina:

   Aldagai independenteak beste edozein izan daitezke, eta horien funtzioan lortzeko, prozedura errepikatu behar da. Edo, lortutakoan adierazpena, horretan ordezkatzea egoera-ekuazioa behar den moduan, azken adierazpenean beharrezkoak diren aldagaiak baino ez agertarazteko.

2. Idatzi lehen printzipioaren adierazpen infinitesimala:

   Honako hau da lehen printzipioaren adierazpen infinitesimala:

   $$\delta Q=dU-\delta W$$

3. Ordezkatu lehen printzipioaren adierazpen diferentzialean:

   • prozesuari buruzko informazioa:

     Ondorioztatu beharreko prozesu adiabatikoa da, beraz, $\delta Q=0$ beteko du. Gogoratu adierazpena lortzeak prozesua bera kuasiestatiko bihurtzen duela eta, ondorioz, era infinitesimalean azter daiteke: horrenbestez idatzi ahal izan da beroaren aldaketa infinitesimala, nahiz eta ez-zehatza izan.

     Ordezkatuko dut prozesuari buruzko informazioa:

     $$0=dU-\delta W$$

   • sistemari buruzko informazioa:

     Gas idealean berori bi modu baliokideetan idatzi dut, bi aldagai termodinamiko independenteen sorta ezberdinak erabilita, $(T,V)$ eta $(T,p)$:

     $$\begin{array}{r}\begin{array}{rcl}\delta Q& =& C_{V}dT+pdV\\ \delta Q& =& C_{p}dT-Vdp\end{array}\end{array}$$

     Prozesuari buruzko informazioa ere bai dagoela:

     $$\begin{array}{r}\begin{array}{rcl}0& =& C_{V}dT+pdV\\ 0& =& C_{p}dT-Vdp\end{array}\end{array}$$

     Iruzkina:

     Puntu honetan, horietako edozein integratu daiteke, prozesuari dagokion adierazpen lortzeko $(T,V)$ edo $(T,p)$ diagrametan, hurrenez hurren. Bi adierazpen horietan prozesuari buruzko informazioa ($\delta Q=0$) eta sistemari buruzko informazioa ($dU=C_V\wedge \delta W=-pdV$) dago.

     Dena dela, biak erabiliko ditut aldi berean, bietan $dT$ desagerraraziz. Horretarako, $dT$ duten eskuineko atalak, ezkerrera pasatuz, honako idatziko dut:

     $$\begin{array}{r}\begin{array}{rcl}{C}_{V}dT& =& -pdV\\ C_{p}dT& =& +Vdp\end{array}\end{array}$$

     Elkarren artean zatituz eta berridatziz, honako hau lortzen dut:

     $$\frac{C_p}{C_V}\cdot Vdp=-pdV$$

     Gas idealetan, dakigunez, $C_p$ eta $C_V$ konstanteak dira, beraz, haien arteko zatidura ere bai. Gainera, behin baino gehiagotan agertuko denez, izena dauka bero-ahalmenen arteko zatidurak: koefiziente adiabatikoa, honako hau:

     $$\gamma \equiv \frac{C_p}{C_V}$$

     Hortaz, aurreko ekuazio infinitesimala era honetan idatz dezaket:

     $$\gamma \cdot Vdp=-pdV$$

4. Integratu lortutako ekuazio diferentziala:

   Aldagaiak banatuta daudenez, erraz integratu daiteke, honako hau lortuz:

   $$\boxed{{\displaystyle p{V}^{\gamma }=C}}$$

   Onartuta, integrazioa egiteko, jakina, $\gamma$ konstantea dela; ez da beti kasua, baina gas ideal monoatomikoen kasuan, bai.

   
   

   Iruzkina:

   Arestian aipatu dudanez, $(T,p)$ aldagaietan lortu nahi izanez gero prozesu adiabatikoen adierazpena, egoera-ekuazioa, mekanikoa, baino ez da ordezkatu behar. Orduan, idatz dezadan prozesuari dagokion adierazpenean egoera-ekuazioa honako era honetan idatzita: $p=p(T,V)$, hots, hauxe: $p=\frac{nRT}{V}$.

   $$\left[\frac{nRT}{V}\right]\times V^{\gamma }=C\Rightarrow T{V}^{(\gamma -1)}=\frac{C}{nR}\equiv \left(C^{\prime }\right)$$

   Integratzen badut honako ekuazio infinitesimala:
   $$0=C_{p}dT-Vdp$$$$C_{p}dT=Vdp$$

   Idatz dezadan $V=V(T,p)\equiv V=\frac{nRT}{p}$, egoera-ekuazioa erabilita, aurreko adierazpena $(T,p)$ aldagaietan idazteko.

   $$C_{p}dT=\frac{nRT}{p}dp\Rightarrow \frac{C_p}{nRT}dT=\frac{1}{p}dp$$

   Aldagaiak banatuta daudenez, erraza da honaino heltzea:

   $$T^{\frac{C_p}{nR}}=Cp$$

   Kontuan hartuta Mayer-en erlazioa, gas idealean: $C_p-C_V=nR$, honako era honetan idatz dezaket aurreko adierazpena, $\gamma$ koefiziente adiabatikoaren definizioa erabilita:

   $$\boxed{{\displaystyle T{p}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}=C}}$$

   Berdin antzeko prozedurari segituz, honako hau lor dezaket, $(T,V)$ aldagai independenteen sortaren funtzioan:

   $$\boxed{{\displaystyle T{V}^{1-\gamma }=C}}$$

   
   

---

Lortutako prozesuen adierazpide grafikoa, $p/V$ diagraman

Lortu berri dudan prozesuari dagokion malda $p/V$ diagraman lortzea ariketa interesantea da. Horretarako, gas idealaren prozesu adiabatikoen adierazpena $p/V$ diagraman, $p=p(V)$ forman idatzi eta deribatu baino ez da egin behar.

Adieraz dezadan bada prozesuaren malda (diagramako edozein puntutan):

$$p{V}^{\gamma }=C\Rightarrow p=\frac{C}{V^{\gamma }}$$

Bi aldeak deribatuz gero, honako hau lortzen da:

$$dp=C\cdot \gamma V^{-\gamma -1}dV\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \frac{dp}{dV}=-\gamma \frac{p}{V}}}$$

Iruzkina: Prozesu isotermikoen forma, $p/V$ diagraman

Prozesu isotermoen adierazpen matematikoa $p/V$ diagraman oso erraza da ondorioztatzea. Horretarako, egoera-ekuazioa mekanikoari erreparatu behar da:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{l}pV=\left[nR\right]T\\ T=T_0(\text{konstante})\end{array}\}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle pV=\left[nR\right]T_0}}\end{array}$$

Kalkulatuko dut prozesu isotermoei dagokien malda, aurreko kasuan egin dudan moduan eta haiei dagokienarekin alderatzeko:

$$dp=C\cdot \gamma V^{-1}dV\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \frac{dp}{dV}=-\frac{p}{V}}}$$

Gas idealaren indize adiabatikoa, dela monoatomikoa zein diatomikoa, beti da $\gamma >1$. Beraz, edozein kasutan, $p/V$ diagramako edozein puntutan prozesu adiabatikoei dagokien malda prozesu isotermoei dagokiena baino handiagoa da balioa absolutuan, bi kasuetan, negatiboak izanik. Hortaz, puntu beretik pasatzen diren lerro adiabatikoa eta isotermoa honako era honetan irudikatu behar dira:

---

Prozesu politropikoak, gas idealetan

Prozesu politropikoak definitzen dira soilik gas idealetan, honako era honetan:

$$\boxed{{\displaystyle p{V}^j=k}}$$

Adierazpen horretan, $j$ edozein (printzipioz) izan daiteke eta $k$ da balio konstantea.

Jakina, prozesuko edozein punturen bidez finkatu daiteke $k$ konstantearen balioa:

$$k=p_1{V}_1^j=p_2{V}_2^j=\dots$$

Horrelako prozesuen kasuan, gas idealak trukatutako beroa ($Q$), egindako lana ($W$) eta izan duen barne-energiaren aldaketa ($\mathrm{\Delta }U$) kalkulatu daitezke, honako hauek dira:

1. $W$:

   $$\begin{array}{r}\begin{array}{l}\delta W=-pdV\\ p{V}^j=k\Rightarrow p={\displaystyle \frac{k}{V^j}}\end{array}\}\delta W=-{\displaystyle \frac{k}{V^j}}dV\Rightarrow W=-k\int {\displaystyle \frac{1}{V^j}}dV\end{array}$$
   $$\begin{array}{r}\begin{array}{l}W={\displaystyle \frac{1}{(j-1)}}(p_2{V}_2-p_1{V}_1)\\ \\ \boxed{{\displaystyle W={\displaystyle \frac{1}{(j-1)}}nR(T_2-T_1)}}\end{array}\end{array}$$

2. $\mathrm{\Delta }U$:

   $$U=U(T)\Rightarrow dU=C_{V}dT\Rightarrow \mathrm{\Delta }U=C_V\mathrm{\Delta }T$$
   $$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }U=\boxed{{\displaystyle C_V}}(T_2-T_1)}}\mathrm{\Delta }U=\boxed{{\displaystyle c_{V}nR}}(T_2-T_1)$$

3. $Q$:

   $$Q=\mathrm{\Delta }U-W$$
   $$\begin{array}{r}\begin{array}{l}Q=nR(T_2-T_1)[C_V-{\displaystyle \frac{1}{(j-1)}}]\\ Q={\displaystyle \frac{(T_2-T_1)}{(j-1)}}[j{C}_V-C_p]\\ \\ \boxed{{\displaystyle Q={\displaystyle \frac{(T_2-T_1)}{(j-1)}}nR[j{C}_V-C_p]}}\end{array}\end{array}$$

Deaggun honakoa hau dela prozesua;